26. 经典高考数列递推估值题的抽象做法

重要的是，我想把它放成这个样子。

$b_{n} > 0, b_{1} = 1, b_{n + 1}^{2} = b_{n}^{2} + b_{n}$ ，求证 $\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{b_{k}^{2}} < 3$ 。

直接令 $b_{n + 1}^{2} = b_{n}^{2} + b_{n} \geq (b_{n} + λ)^{2}$ ，由 $b_{n} \geq 1$ 可解得 $λ = \sqrt{2} - 1$ 满足要求。

由 $b_{n} > 0$ 得 $b_{n + 1} \geq b_{n} + λ$ ，于是

$\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{b_{k}^{2}} \leq 1 + \sum_{k = 2}^{100} \frac{1}{(1 + (k - 1) λ)^{2}} < 1 + \frac{1}{λ} (\frac{1}{1 + \frac{1}{2} λ} - \frac{1}{1 + \frac{199}{2} λ}) < 3$

第二步是经典的等差数列平方倒数和的放缩。

这个题的原题（2021浙江）基本是这样的：

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + \sqrt{a_{n}}}$ ，求证 $S < 3$ 。

上面的做法是换元 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n}}}$ 得到的。

标准做法是对原式进行变形：

$a_{n + 1} = \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{\sqrt{a_{n}}} < \frac{2 (a_{n} - a_{n + 1})}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}} = 2 (\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{n + 1}})$ ，求和即得。